.. index:: ガウス分布, Gaussian distribution .. _gaussian-distribution: ==================================== ガウス分布 (Gaussian distribution) ==================================== .. seealso:: `正規分布 - Wikipedia `_ .. _gaussian-avg-change-of-variable: ガウス確率変数の変数変換 ======================== 確率変数 :math:`X` が平均 :math:`\mu`, 分散 :math:`\sigma^2` の ガウス分布 に従い, 確率変数 :math:`Z` が平均 0, 分散 1 の ガウス分布 に従うとする. これらの確率変数に関する期待値を :math:`\Avg{\bullet}` と書く. 統計量 :math:`\Avg{f(X)}` (:math:`f` は適当な関数) は :math:`Z` を用いて, .. math:: \Avg{f(X)} = \Avg{f(\mu + \sigma Z)} と計算出来る. 形式的な変数変換で示そう. 平均 :math:`\mu`, 分散 :math:`\sigma^2` の ガウス確率密度関数を .. math:: g_{\mu,\sigma}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp \left( - \frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right) と書く. 変数変換 :math:`x = \mu + \sigma z` をすれば, .. math:: \Avg{f(X)} & = \int_{-\infty}^\infty \D x \, g_{\mu,\sigma}(x) \, f(x) \\ & = \int_{-\infty}^\infty \D z \, \sigma \, g_{\mu,\sigma}(\mu + \sigma z) \, f(\mu + \sigma z) \\ & = \int_{-\infty}^\infty \D z \, \sigma \, \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp \left( - \frac{(\mu + z \sigma - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right) f(\mu + \sigma z) \\ & = \int_{-\infty}^\infty \D z \, g_{0,1}(z) \, f(\mu + \sigma z) \\ & = \Avg{f(\mu + \sigma Z)} .. _gaussian-measure: ガウス測度 (Gaussian measure) ============================= 物理の計算では, いくつものガウス積分が出てくることが多々あり, その度に :math:`\D z \, g_{0,1}(z)` などと書くのは煩雑なので, :index:`ガウス測度` (:index:`Gaussian measure`) と呼ばれる以下の記法を導入する. .. math:: Dx := \D x \exp(-x^2) / \sqrt{2 \pi} これを用いれば, :ref:`gaussian-avg-change-of-variable` の公式は .. math:: \Avg{f(X)} = \int_{-\infty}^\infty Dz \, f(\mu + \sigma z) とかける. .. note:: ただの省略のための記法なので, 数学の測度論 (measure theory) とは 深い関わりなど無いし, そもそも測度論の測度は集合をとる関数なので別物である (測度論で似た記法を *別の* 場面で使う流儀はあるが...). 物理の分野では :math:`\exp(-x^2) / \sqrt{2 \pi}` と繰り返し書くのが面倒なので使われて いるだけである. .. _q-function: Q関数 ===== 標準ガウス分布の裾 (tail) は :index:`Q関数` (:index:`Q-function`) と呼ばれ, ガウス分布を取り扱う計算では頻出である. .. math:: Q(z) := \int_z^\infty \frac{\D x}{\sqrt{2 \pi}} \exp(- x^2 / 2) 興奮・抑制均衡のオリジナルの論文 [vanVreeswijk1998]_ ではこのQ関数は :math:`H(z)` と表記され, :index:`相補誤差関数` (:index:`complementary error function`, :index:`erfc`) と呼ばれているが, 広く使われている定義 .. math:: \text{erfc}(x) := \frac{2}{\sqrt \pi} \int_x^\infty \D t \, \exp(-t^2) からは, 少し違う. erfc と Q関数 の間には, .. math:: Q(z) = \frac{1}{2} \text{erfc}(z/\sqrt 2) の関係がある. .. seealso:: `Q-function - Wikipedia `_ `Error function - Wikipedia `_ `誤差関数 - Wikipedia `_ .. _gauss-integrals-of-heaviside-function-and-q-function: ヘヴィサイド関数の多重ガウス積分とQ関数 ======================================= ヘヴィサイド関数 :math:`\Theta(x) = 0` (:math:`x < 0`), :math:`\Theta(x) = 1` (:math:`x > 0`), の多重ガウス積分とQ関数 には次の関係が成り立つ. .. math:: \int \left( \prod_i Dx_i \right) \, \Theta \left( \sum_i c_i x_i + u \right) = Q \left( - \frac{u}{\sqrt{\sum_i c_i^2}} \right) ただし, 積と和は :math:`i=1` から :math:`i=M` までについておこない, 積分区間は :math:`\mathbb R^M` 全体とする. まずは :math:`M = 2` の場合について示す. :math:`a = c_1`, :math:`b = c_2`, :math:`\alpha = a^2 + b^2` とする. 二次元ベクトル :math:`(a, b)^\intercal` に沿った単位ベクトル を :math:`\bm r = (a, b)^\intercal / \sqrt \alpha` と定義 する. [#]_ これに直交した2つある単位ベクトル :math:`\bm s = (s_1, s_2)^\intercal` のうち, 行列式 が :math:`\det (\bm r, \bm s) = 1` となるものを選ぶ. [#]_ .. [#] :math:`x_1` と :math:`x_2` に関するガウス積分を :math:`(a, b)^\intercal` の軸に沿ったガウス積分とそれに 直交する軸に沿ったガウス積分に分ける, というアイディアである. .. [#] 行列式が :math:`\det (\bm r, \bm s) = -1` となるものを 選んでも同様に計算できる. これらの仮定, つまり, .. math:: \bm r \cdot \bm s \propto a s_1 + b s_2 = 0 \det (\bm r, \bm s) = (a s_2 - b s_1) / \sqrt \alpha = 1 より, [#]_ :math:`\bm s = (-b, a)^\intercal / \sqrt \alpha` .. [#] 第一式より :math:`a s_1 = - b s_2`, 第二式の両辺に :math:`a` をかけて :math:`(a^2 s_2 - b (a s_1)) / \sqrt \alpha = a` なので, :math:`s_2 = a / \sqrt \alpha`. 第一式より, :math:`s_1 = - b / \sqrt \alpha` である. 変数変換 .. math:: r = \bm r \cdot (x_1, x_2)^\intercal = (a x_1 + b x_2) / \sqrt \alpha s = \bm s \cdot (x_1, x_2)^\intercal = (-b x_1 + a x_2) / \sqrt \alpha を施す. ヤコビアンは, .. math:: \det \frac{\partial (x, y)}{\partial (r, s)} = \left( \det \frac{\partial (r, s)}{\partial (x, y)} \right)^{-1} = \frac{1}{\det (\bm r, \bm s)} = 1 なので, :math:`\D x \D y = \D r \D s` である. さらに, :math:`r^2 + s^2 = x_1^2 + x_2^2` なので, 結局, :math:`Dx_1 Dx_2 = Dr Ds` である. .. math:: & \int Dx_1 Dx_2 \, \Theta (a x_1 + b y_2 + u) \\ & = \int Dr \underbrace{\int Ds}_{=1} \, \Theta (\sqrt \alpha r + u) \\ & = \int Dr \, \Theta (r + u / \sqrt \alpha) = \int_{-u / \sqrt \alpha}^\infty Dr \\ & = Q \left( - \frac{u}{\sqrt \alpha} \right) 一般の :math:`M` に関して成り立つことは, 帰納法で確かめられる.