.. _order-parameter-q: ================ 秩序変数の計算 ================ これまでの計算で, クエンチされたゆらぎ(空間ゆらぎ)と時間ゆらぎを 集団平均活動率 :math:`m_k` と秩序変数 :math:`q_k` で 表すことが出来ると分かったが, 秩序変数 :math:`q_k` の計算方法 がまだ分からないので, これでは答えを得たとは言えない. ここでは, 秩序変数 :math:`q_k` が満たすべき関係式 (:index:`自己無頓着` (:index:`self-consistent`) 方程式) を導く. :ref:`mft` と同様に, ニューロンの状態 :math:`\sigma_k^i(t) = \Theta(u_k^i(t))` を標準ガウス確率変数で書きなおそう. 今度は, 入力 :math:`u_k^i(t)` のゆらぎをクエンチされたゆらぎ(空間ゆらぎ)と時間ゆらぎをに分け, それぞれ独立な標準ガウス確率変数 :math:`x_i` と :math:`y_i(t)` で 表す. [#]_ つまり, 確率変数 :math:`x_i` と :math:`y_i(t)` は :math:`\PAvg{x_i}_i = \Avg{y_i(t)}_t = 0` と :math:`\PAvg{(x_i)^2}_i = \Avg{(y_i(t))^2}_t = 1` を 満たすとする. これらの確率変数を用いて入力を .. math:: u_k^i(t) = u_k + c x_i + d y_i(t) と書いて実数 :math:`c, d` を求めよう. :ref:`quenched-fluctuations` の結果と .. math:: \left[ \left( \Devi \Avg{u_k^i(t)}_t \right)^2 \right] = \left[ \left( \Devi (c x_i) \right)^2 \right] = \left[ \left( c x_i \right)^2 \right] = c^2 より, :math:`c = \sqrt{\beta_k}`, :ref:`temporal-fluctuations` の結果と .. math:: \Avg{ \left[\left( u_k^i(t) - \Avg{u_k^i(t)}_t \right)^2 \right]_i }_{t} = \Avg{ \left[\left( d y_i(t) \right)^2 \right]_i }_{t} = d^2 より, :math:`d = \sqrt{\alpha_k - \beta_k}` が言える. .. [#] 確率変数 :math:`x_i` とある時間 :math:`t` における 時間ゆらぎ成分を表す確率変数 :math:`y_i(t)` は独立だが, 違う時間 :math:`t' \neq t` と比べて, :math:`y_i(t)` と :math:`y_i(t')` が独立, という意味では **ない**. 確率変数 :math:`y_i(t)` と :math:`y_i(t')` はもちろん相関 を持ち, その相関構造は :math:`u_k^i(t)` の自己相関関数を 計算することで理解できる. よって, ニューロンの状態 :math:`\sigma_k^i(t) = \Theta(u_k^i(t))` は .. math:: \sigma_k^i(t) = \Theta \left( u_k + \sqrt{\beta_k} \, x_i + \sqrt{\alpha_k - \beta_k} \, y_i(t) \right) と書けることが分かった. この表式では, 時間平均 :math:`\Avg{\bullet}_t` は 確率変数 :math:`y_i(t)` に関する平均と同値 (つまり, :math:`\Avg{f(y_i(t))}_t = \int \D y \, f(y)`) なので, :math:`m_k^i = \Avg{\AvgDyn{\sigma_k^i(t)}}_t` は .. math:: :label: mki-in-xi m_k^i = m_k(x_i) = H \left( \frac{-u_k - \sqrt{\beta_k} x_i}{\sqrt{\alpha_k - \beta_k}} \right) と書ける. この表式を用いて :math:`q_k = \PAvg{(m_k^i)^2}` を計算 すると, .. math:: :label: qk-self-consistent q_k = \int Dx \left( m_k(x) \right)^2 = \int Dx \left\{ H \left( \frac{-u_k - \sqrt{\beta_k} x_i}{\sqrt{\alpha_k - \beta_k}} \right) \right\}^2 となる. クエンチされたゆらぎ :math:`\beta_k` が :math:`q_k` に依存 していることを思い出せば, この式は秩序変数 :math:`q_k` が満たすべき関係式 であり, :math:`q_k` を陰に定義していることが分かる. * 時間ゆらぎが無い場合 :math:`\alpha_k - \beta_k = 0`: :math:`\sigma_k^i(t) = \Theta \left(u_k + \sqrt{\beta_k} \, x_i \right)` は :math:`y_i(t)` に依存しないので, :math:`m_k^i = \Avg{\AvgDyn{\sigma_k^i(t)}}_t = \Theta \left(u_k + \sqrt{\beta_k} \, x_i \right)` [#]_ となるから, :math:`(m_k^i)^2 = m_k^i` より, .. math:: q_k = \int Dx \, \left( m_k(x) \right)^2 = \int Dx \, m_k(x) = m_k である. :ref:`temporal-fluctuations` で導いた関係式 より, :math:`\alpha_k - \beta_k = \sum_{l=E,I} J_{kl}^2 (m_l - q_l) = 0` となり, 時間ゆらぎが無いという仮定と整合性があるので, :math:`q_k = m_k` は式 :eq:`qk-self-consistent` の解のひとつ である. この解を, 原著 [vanVreeswijk1998]_ にならい :index:`凍結解` (:index:`frozen solution`) と呼ぶ. 時間ゆらぎは二乗の平均なので正, つまり :math:`\sum_{l=E,I} J_{kl}^2 (m_l - q_l)` は正である. また, :math:`0 \le m_k(x_i) \le 1` より, 各点 :math:`x_i` で :math:`m_k(x_i)^2 \le m_k(x_i)` だから, :math:`\PAvg{m_k(x_i)^2} \le \PAvg{m_k(x_i)} = m_k`, つまり凍結解 :math:`q_k = m_k` は秩序変数 :math:`q_k` の上限を与えることが分かる. .. [#] この場合の時間平均活動率 :math:`m_k^i = \Theta \left(u_k + \sqrt{\beta_k} \, x_i \right)` は, :math:`\alpha_k - \beta_k > 0` の場合の :ref:`q-function` を用いた 表式 :eq:`mki-in-xi` の極限 :math:`\alpha_k - \beta_k \to 0^+` でもある. * クエンチされたゆらぎがない場合 :math:`\beta_k = 0`: 式 :eq:`qk-self-consistent` に :math:`\beta_k = 0` を代入すると, :math:`m_k(x_i) = H({-u_k}/{\sqrt{\alpha_k}})` は :math:`x_i` に 依存しなくなり, .. math:: q_k = \int Dx \left\{ H \left( \frac{-u_k}{\sqrt{\alpha_k}} \right) \right\}^2 = \underbrace{ \left\{ H \left( \frac{-u_k}{\sqrt{\alpha_k}} \right) \right\}^2 }_{= (m_k)^2} \underbrace{ \int Dx }_{= 1} = (m_k)^2 となる. しかし, :ref:`quenched-fluctuations` で求めた関係式 :math:`\beta_k = \sum_{l=E,I} J_{kl}^2 q_l` にこれをあてはめると, :math:`m_k = 0` または :math:`J_{kl} = 0` というトリビアルな状況を 除けば, :math:`\beta_k > 0` となり, 仮定 :math:`\beta_k = 0` とは 整合性がとれない. よって, :math:`q_k = (m_k)^2` は解ではない. 一方で, イェンゼンの不等式 (Jensen's inequality) [#]_ を用いれば, :math:`\PAvg{(m_k^i)^2} \ge (\PAvg{m_k^i})^2 = (m_k)^2`, つまり クエンチされたゆらぎがない場合 :math:`\beta_k = 0` が 秩序変数 :math:`q_k` の下限を与えることが分かる. .. [#] (下に)凸関数 :math:`f(x)` と :math:`x` に関する平均 :math:`\Avg{\bullet}` について, :math:`f(\Avg{x}) \le \Avg{f(x)}` が成り立つ. これを, :index:`イェンゼンの不等式` (:index:`Jensen's inequality`) という. 参考: `イェンゼンの不等式 - Wikipedia `_ / `Jensen's inequality - Wikipedia `_