.. _intro:

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 はじめに
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生体内 (in vivo) の大脳皮質のニューロンは典型的に,
(1) 発火の時系列パターンが不規則であり
(発火時間間隔 (interspike interval; ISI) の分布が指数分布に近い),
(2) ニューロン同士はほぼ無相関に発火する
という特徴を持つ.  一方,
生体外 (in vitro) の電気生理記録から, 大脳皮質のニューロンは決定論的
にふるまうことが知られている.   それでも, 大脳皮質のニューロンは相互に
結合しているのだから, 入力として他のニューロンの発火の不規則なパターンを
受けることにより不規則な発火パターンを出力するというメカニズムが考えられる.
しかし, この素朴に考えれば「自然な」メカニズムは, 簡単な考察から破綻する
ことが分かる.

:math:`N` 個のニューロンが相互に結合した系を考える.
それぞれのニューロンは平均して :math:`K`
個のニューロンから入力を受けているとし, 行列 :math:`\bm J` を用いて,
:math:`i` 番目のニューロンが :math:`j` 番目のニューロンからの入力を受
けているなら :math:`J_{ij} = J / K` そうでなければ :math:`J_{ij} = 0`
として結合を表現する.  ここで結合力を :math:`J/K` とスケールした理由は
以下で明らかになる.  以下の議論は興奮性の集団 (:math:`J > 0`) でも
抑制性の集団 (:math:`J < 0`) でも成り立つ.
ニューロンの数やその結合の数は非常に大きいので,
:math:`N, K \to \infty` の極限で現れる普遍的な性質を調べる.  ニューロン
:math:`i` への入力を :math:`x_i`, その出力を :math:`y_i` と書く.
入力 :math:`x_i` がどのように出力 :math:`y_i` に変換されるかは指定しない
が, 何らかの決定論的な仕組みに依る, つまり
出力の不規則性は入力の不規則性のみに依る
という仮定をする.
簡単のために, すべてのニューロンの出力 :math:`y_1, \ldots, y_N` は独立
で, 同じ平均 :math:`m = \Avg{y_i}` (「ネットワークの平均発火率」のよう
なもの) を持つとする. さらに, 入力 :math:`x_i` が線形和

.. math::

   x_i = \sum_{j=1}^{N} J_{ij} y_j

で表されるとする.
右辺はたくさんの :math:`y_i` の和なのだから, :ref:`lln`
により「その平均 (:math:`= m`)
× :math:`J_{ij}` が非ゼロの時の値 (:math:`= J / K`)
× :math:`J_{ij}` が非ゼロの個数 (:math:`\approx K`)」
で近似出来るはずである.
つまり, :math:`x_i \approx J m` となる.  結合力が :math:`J/K`
という選択は :math:`x_i` が :math:`K \to \infty` で発散
しないために必要だったのである.
しかし, この場合, :ref:`clt` により :math:`x_i` の
分散は :math:`\Var (x_i) = O(1/K)` とスケールすることが期待される.
つまり, :math:`x_i` の不規則性は :math:`K \to \infty` の極限で
消えてしまう.  よって, 出力 :math:`y_i` の不規則性は入力 :math:`x_i`
の不規則性にのみに依るという仮定から, 出力 :math:`y_i` の不規則性
も消えてしまう.  しかし, この結論は出力 :math:`y_i` に不規則性
があるという仮定のもとで導いたのだから, 矛盾している.  つまり,
このモデルは間違っている.

この現象を避けるには, 結合力を :math:`J/K` から
:math:`J / \sqrt K` に変更すれば良い.
この場合, 同じく :ref:`clt` により :math:`\Var (x_i) = O(1)`
となる.  つまり, :math:`K \to \infty` の極限でも不規則性
が消えない.
ところが, 平均は :math:`\Avg{x_i} = O(\sqrt K)` となり,
:math:`K \to \infty` の極限で発散してしまう.  生物学的な
モデルでは変数は常に一定の範囲内に収まっているべきであり, 平均
が発散するモデルは使えない.

しかし, この困難は相互に結合した興奮性と抑制性の集団と, それらの
集団への外部からの興奮性入力 [#ext]_ を考えると解決出来る.
興奮性の集団を上付添字 :math:`E`,
抑制性の集団を上付添字 :math:`I`,
外部の (興奮性) 集団を上付添字 :math:`0`
で表し, 例えば :math:`i` 番目の
興奮性ニューロンへの入力は :math:`x^E_i` で,
抑制性ニューロンから興奮性ニューロンへの結合の強さは
:math:`J^{EI} / \sqrt K` とする.
集団 :math:`E, 0` は興奮性なので :math:`J^{kE}, J^{k0} > 0`
(:math:`k = E, I`),
集団 :math:`I` は抑制性なので :math:`J^{kI} < 0`
(:math:`k = E, I`) であることに注意.
集団 :math:`k` (:math:`= E, I`) への入力は

.. math::

   x^k_i
   = \sum_{j=1}^{N} J^{kE}_{ij} y^{E}_j
   + \sum_{j=1}^{N} J^{kI}_{ij} y^{I}_j
   + \sum_{j=1}^{N} J^{k0}_{ij} y^{0}_j
   \approx
   \sqrt{K} (J^{kE} m^E + J^{kI} m^I + J^{k0} m^0)

となる.  ここで :math:`J^{kE} m^E + J^{k0} m^0` は正で
:math:`J^{kI} m^I` は負である.  よって, これらの値が
うまく釣り合えば, つまり,
:math:`J^{kE} m^E - J^{kI} m^I + J^{k0} m^0 \approx 0`
が成り立てば, 入力 :math:`x^k_i` は発散しない.
本稿ではこの条件の成り立つネットワークを
**興奮・抑制均衡ネットワーク** と呼び, その特性を解析する.
素朴に考えるとそのためには各結合力 :math:`J^{kl}`
(:math:`k, l = E, I, 0`) を注意深く選ぶ (fine tuning する)
必要があり, 恣意的なモデルに見える.  よって,
興奮・抑制均衡ネットワークの重要なアイディアは, この条件が
**自動的に** [#]_ 達成されることにある.
もちろんそのためには結合力 :math:`J^{kl}` はある
条件を満たす必要があるが, その条件は大変ゆるい.

.. [#ext] ここでの議論だけでは外部の集団を考える必然性は自明
   では無い.  しかし, 興奮・抑制均衡ネットワークは外部の集団
   なしでは成り立たないことを後に述べる.

.. [#] 力学系の言葉で言えば, この条件が達成された状態が漸近安定.

まず, :ref:`balance-network` でネットワークの詳細には依らない
特性を導く.
そして, :ref:`binary-network` で上記の
アイディアが統計力学的な厳密な系で成立することを示す.
:ref:`balance-network` と :ref:`binary-network` の大部分の
議論はゆるやかにしか繋がっていないので, どちらから読み始めても
良い.  :ref:`binary-network` で :ref:`balance-network` の
議論が必要になるのは, :ref:`stability` の部分だけである.

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