.. _binary-network-model:

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 モデルの定義
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:math:`N_E` 個の興奮性のニューロンと
:math:`N_I` 個の抑制性のニューロンが
相互に結合したネットワークの特性を
:math:`N = N_E + N_I \to \infty`
の極限で調べる.  ここで, 興奮性ニューロンと抑制性ニューロンの非
:math:`N_E/N_I` は :math:`N` に依らない数に固定されていると
する.
これらのニューロンは平均 :math:`K` 個のニューロンと
ランダムに結合され, その確率分布は

.. _def-J:

.. math::

   \Prob \{ J_{kl}^{ij} = J_{kl}/\sqrt K \} = K/N_l

   \Prob \{ J_{kl}^{ij} = 0 \} = 1 - K/N_l

で定義される.  [#]_

.. [#] 原著 [vanVreeswijk1998]_ には確率は :math:`K/N_k`
   と書いてあるがこれは間違い.

それぞれのニューロンの状態は 0 か 1 の二値変数で表現され,
:math:`\sigma_k^i(t) = 1` (:math:`= 0`) は
活動 (無活動) 状態に対応する.  ニューロンの状態は「バラバラ」な
タイミング (後述) で更新され, そのニューロンへの入力 :math:`u_k^i(t)`
に依って, 状態は

.. math::

   \sigma_k^i(t) = \Theta(u_k^i(t))

に更新される.  ただし, :math:`\Theta` は
:math:`\Theta(x) = 0` (:math:`x \le 0`),
:math:`\Theta(x) = 1` (:math:`x > 0`)
で定義される ヘヴィサイド関数 である.  ニューロンへの入力は

.. math::

   u_k^i(t)
   = \sum_{l=E,I} \sum_{j=1}^{N_l} J_{kl}^{ij} \sigma_l^j(t)
   + u_k^0 - \theta_k

で定義される.  :math:`u_k^0` は外部入力を表し,
:math:`\theta_k` はニューロンの閾値を表す.  :math:`u_k^0` が
外部集団からの入力を表すならば, その大きさは :math:`O(\sqrt K)`
のオーダーになるはずである (:ref:`intro` 参照).
よって, :math:`u_k^0` は外部集団との結合強度 :math:`J_{k0} > 0`
と外部集団の「活動率」 :math:`m_0` を使い,

.. math::

   u_k^0 = \sqrt K J_{k0} m_0
   \qquad
   (k = E, I)

と置く.

集団 :math:`k` のニューロン :math:`i` はそれぞれ平均 :math:`\tau_k`
の時間間隔で「バラバラ」に (非同期的に) 更新される.  ここでは,
各ニューロンの 更新の時間間隔は平均 :math:`\tau_k` の独立な
指数分布に従う (つまり, 各ニューロンの更新は独立なポアソン過程
である) とする.  [#]_

.. [#] 更新のタイミングがランダムでないバージョンのネットワークも
   [vanVreeswijk1998]_ では解析していて, その統計的な振る舞いは
   同一であることが示されている.