\(\newcommand{\D}{\text{d}} \newcommand{\I}{\text{i}} \newcommand{\E}{\text{e}} \newcommand{\Prob}{\mathbb{P}} \newcommand{\Expect}{\mathbb{E}} \newcommand{\Var}{\text{Var}} \newcommand{\PAvg}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\Avg}[1]{\left\langle#1\right\rangle} \newcommand{\AvgJ}[1]{\Avg{#1}_{\bm J}} \newcommand{\AvgDyn}[1]{\Avg{#1}_{\text{dyn.}}} \newcommand{\CAvg}[2]{\Avg{#1}_{\left|#2\right.}} \newcommand{\Devi}{\mathfrak{d}}\)

時間平均活動率の分布

集団 \(k\) の時間平均活動率の分布は

\[\rho_k(m) := \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N_k} \sum_{i=1}^{N_k} \delta(m - m_k^i) = \lim_{N \to \infty} \PAvg{\delta(m - m_k^i)}_i\]

で定義される. 秩序変数の計算 の表式を用いれば, \(\PAvg{f(x_i)}_i \approx \int \D x \, f(x)\) だから,

\[\rho_k(m) = \int Dx \, \delta(m - m_k(x))\]

で計算できる.