\(\newcommand{\D}{\text{d}} \newcommand{\I}{\text{i}} \newcommand{\E}{\text{e}} \newcommand{\Prob}{\mathbb{P}} \newcommand{\Expect}{\mathbb{E}} \newcommand{\Var}{\text{Var}} \newcommand{\PAvg}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\Avg}[1]{\left\langle#1\right\rangle} \newcommand{\AvgJ}[1]{\Avg{#1}_{\bm J}} \newcommand{\AvgDyn}[1]{\Avg{#1}_{\text{dyn.}}} \newcommand{\CAvg}[2]{\Avg{#1}_{\left|#2\right.}} \newcommand{\Devi}{\mathfrak{d}}\)

安定化可能性

均衡条件不等式 で求めた興奮・抑制ネットワークの均衡固定点の安定性を解析する. 均衡固定点の安定性 で示したように, 均衡固定点からのずれ \(\bm \xi = \bm m - \bm m^0\) のダイナミクスは

\[\frac{\D \bm \xi}{\D t} \sim C \bm S \bm J \bm \xi\]

に従う. ただし,

\[\bm S = \diag (S_E, S_I) = \bm \tau^{-1} D_1 \bm f\]

である. 均衡固定点の安定性を調べるためには行列 \(\bm S \bm J\) の固有値の実部を調べれば良い. 行列 \(\bm S \bm J\) は \(2 \times 2\) 行列なので, その固有値は

\[\lambda_{\pm} = \frac{(S_E J_{EE} + S_I J_{II}) \pm \sqrt{ (S_E J_{EE} + S_I J_{II})^2 - 4 (S_E J_{EE} S_I J_{II} - J_{EI} J_{IE}) }}{2}\]

となる. \(\max \Re \lambda_{\pm}\) の負の成分は \(S_I J_{II}\) であるので, \(S_I\) の大きい極限 \(S_E \ll S_I\) で \(\max \Re \lambda_{\pm}\) が負に出来なければ, この系が安定となる可能性は無い. これは, 例えば \(\tau_E \gg \tau_I\) なる場合を考えることと同様である. この極限をとるためには \(S_E = 0\) とすれば良い.

\[\lambda_{\pm} = \frac{S_I J_{II} \pm \sqrt{ (S_I J_{II})^2 + 4 J_{EI} J_{IE} }}{2}\]

\((S_I J_{II})^2 + 4 J_{EI} J_{IE} \le 0\) なら, \(\max \Re \lambda_{\pm} = S_I J_{II} / 2 < 0\) である. \((S_I J_{II})^2 + 4 J_{EI} J_{IE} > 0\) なら, \(4 J_{EI} J_{IE} < 0\) より, \(S_I J_{II} + \sqrt{(S_I J_{II})^2 + 4 J_{EI} J_{IE}} < 0\) なので \(\max \Re \lambda_{\pm} = \lambda_+ < 0\) である. ゆえに, 興奮・抑制ネットワークではどんな入出力関係 \(\bm f\) や結合パラメタ \(\bm J\) や外部入力 \(\bm h\) に対しても, 抑制性集団が興奮性集団に比べて十分速い時定数をもてば, 均衡固定点を漸近安定に出来る.