\(\newcommand{\D}{\text{d}} \newcommand{\I}{\text{i}} \newcommand{\E}{\text{e}} \newcommand{\Prob}{\mathbb{P}} \newcommand{\Expect}{\mathbb{E}} \newcommand{\Var}{\text{Var}} \newcommand{\PAvg}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\Avg}[1]{\left\langle#1\right\rangle} \newcommand{\AvgJ}[1]{\Avg{#1}_{\bm J}} \newcommand{\AvgDyn}[1]{\Avg{#1}_{\text{dyn.}}} \newcommand{\CAvg}[2]{\Avg{#1}_{\left|#2\right.}} \newcommand{\Devi}{\mathfrak{d}}\)

安定化可能性

均衡条件不等式 で求めた興奮・抑制ネットワークの均衡固定点の安定性を解析する. 均衡固定点の安定性 で示したように, 均衡固定点からのずれ \bm \xi = \bm m - \bm m^0 のダイナミクスは

\frac{\D \bm \xi}{\D t} \sim C \bm S \bm J \bm \xi

に従う. ただし,

\bm S = \diag (S_E, S_I) = \bm \tau^{-1} D_1 \bm f

である. 均衡固定点の安定性を調べるためには行列 \bm S \bm J の固有値の実部を調べれば良い. 行列 \bm S \bm J は 2 \times 2 行列なので, その固有値は

\lambda_{\pm} = \frac{(S_E J_{EE} + S_I J_{II}) \pm \sqrt{ (S_E J_{EE} + S_I J_{II})^2 - 4 (S_E J_{EE} S_I J_{II} - J_{EI} J_{IE}) }}{2}

となる. \max \Re \lambda_{\pm} の負の成分は S_I J_{II} であるので, S_I の大きい極限 S_E \ll S_I で \max \Re \lambda_{\pm} が負に出来なければ, この系が安定となる可能性は無い. これは, 例えば \tau_E \gg \tau_I なる場合を考えることと同様である. この極限をとるためには S_E = 0 とすれば良い.

\lambda_{\pm} = \frac{S_I J_{II} \pm \sqrt{ (S_I J_{II})^2 + 4 J_{EI} J_{IE} }}{2}

(S_I J_{II})^2 + 4 J_{EI} J_{IE} \le 0 なら, \max \Re \lambda_{\pm} = S_I J_{II} / 2 < 0 である. (S_I J_{II})^2 + 4 J_{EI} J_{IE} > 0 なら, 4 J_{EI} J_{IE} < 0 より, S_I J_{II} + \sqrt{(S_I J_{II})^2 + 4 J_{EI} J_{IE}} < 0 なので \max \Re \lambda_{\pm} = \lambda_+ < 0 である. ゆえに, 興奮・抑制ネットワークではどんな入出力関係 \bm f や結合パラメタ \bm J や外部入力 \bm h に対しても, 抑制性集団が興奮性集団に比べて十分速い時定数をもてば, 均衡固定点を漸近安定に出来る.