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モデルの定義

N_E 個の興奮性のニューロンと N_I 個の抑制性のニューロンが相互に結合したネットワークの特性を N = N_E + N_I \to \infty の極限で調べる. ここで, 興奮性ニューロンと抑制性ニューロンの非 N_E/N_I は N に依らない数に固定されているとする. これらのニューロンは平均 K 個のニューロンとランダムに結合され, その確率分布は

\Prob \{ J_{kl}^{ij} = J_{kl}/\sqrt K \} = K/N_l \Prob \{ J_{kl}^{ij} = 0 \} = 1 - K/N_l

で定義される. [1]

[1]原著 [vanVreeswijk1998] には確率は K/N_k と書いてあるがこれは間違い.

それぞれのニューロンの状態は 0 か 1 の二値変数で表現され, \sigma_k^i(t) = 1 (= 0) は活動 (無活動) 状態に対応する. ニューロンの状態は「バラバラ」なタイミング (後述) で更新され, そのニューロンへの入力 u_k^i(t) に依って, 状態は

\sigma_k^i(t) = \Theta(u_k^i(t))

に更新される. ただし, \Theta は \Theta(x) = 0 (x \le 0), \Theta(x) = 1 (x > 0) で定義される ヘヴィサイド関数 である. ニューロンへの入力は

u_k^i(t) = \sum_{l=E,I} \sum_{j=1}^{N_l} J_{kl}^{ij} \sigma_l^j(t) + u_k^0 - \theta_k

で定義される. u_k^0 は外部入力を表し, \theta_k はニューロンの閾値を表す. u_k^0 が外部集団からの入力を表すならば, その大きさは O(\sqrt K) のオーダーになるはずである (はじめに 参照). よって, u_k^0 は外部集団との結合強度 J_{k0} > 0 と外部集団の「活動率」 m_0 を使い,

u_k^0 = \sqrt K J_{k0} m_0 \qquad (k = E, I)

と置く.

集団 k のニューロン i はそれぞれ平均 \tau_k の時間間隔で「バラバラ」に (非同期的に) 更新される. ここでは, 各ニューロンの 更新の時間間隔は平均 \tau_k の独立な指数分布に従う (つまり, 各ニューロンの更新は独立なポアソン過程である) とする. [2]

[2]更新のタイミングがランダムでないバージョンのネットワークも [vanVreeswijk1998] では解析していて, その統計的な振る舞いは同一であることが示されている.