秩序変数の計算¶

これまでの計算で, クエンチされたゆらぎ(空間ゆらぎ)と時間ゆらぎを集団平均活動率 $m_k$ と秩序変数 $q_k$ で表すことが出来ると分かったが, 秩序変数 $q_k$ の計算方法がまだ分からないので, これでは答えを得たとは言えない. ここでは, 秩序変数 $q_k$ が満たすべき関係式 (自己無頓着 (self-consistent) 方程式) を導く.

平均場方程式の導出と同様に, ニューロンの状態 $\sigma_k^i(t) = \Theta(u_k^i(t))$ を標準ガウス確率変数で書きなおそう. 今度は, 入力 $u_k^i(t)$ のゆらぎをクエンチされたゆらぎ(空間ゆらぎ)と時間ゆらぎをに分け, それぞれ独立な標準ガウス確率変数 $x_i$ と $y_i(t)$ で表す. [1] つまり, 確率変数 $x_i$ と $y_i(t)$ は $\PAvg{x_i}_i = \Avg{y_i(t)}_t = 0$ と $\PAvg{(x_i)^2}_i = \Avg{(y_i(t))^2}_t = 1$ を満たすとする. これらの確率変数を用いて入力を

$u_k^i(t) = u_k + c x_i + d y_i(t)$

と書いて実数 $c, d$ を求めよう. クエンチされたゆらぎの計算の結果と

$\left[ \left( \Devi \Avg{u_k^i(t)}_t \right)^2 \right] = \left[ \left( \Devi (c x_i) \right)^2 \right] = \left[ \left( c x_i \right)^2 \right] = c^2$

より, $c = \sqrt{\beta_k}$ , 時間ゆらぎの計算の結果と

$\Avg{ \left[\left( u_k^i(t) - \Avg{u_k^i(t)}_t \right)^2 \right]_i }_{t} = \Avg{ \left[\left( d y_i(t) \right)^2 \right]_i }_{t} = d^2$

より, $d = \sqrt{\alpha_k - \beta_k}$ が言える.

[1]	確率変数 $x_i$ とある時間 $t$ における時間ゆらぎ成分を表す確率変数 $y_i(t)$ は独立だが, 違う時間 $t' \neq t$ と比べて, $y_i(t)$ と $y_i(t')$ が独立, という意味ではない. 確率変数 $y_i(t)$ と $y_i(t')$ はもちろん相関を持ち, その相関構造は $u_k^i(t)$ の自己相関関数を計算することで理解できる.

よって, ニューロンの状態 $\sigma_k^i(t) = \Theta(u_k^i(t))$ は

$\sigma_k^i(t) = \Theta \left( u_k + \sqrt{\beta_k} \, x_i + \sqrt{\alpha_k - \beta_k} \, y_i(t) \right)$

と書けることが分かった. この表式では, 時間平均 $\Avg{\bullet}_t$ は確率変数 $y_i(t)$ に関する平均と同値 (つまり, $\Avg{f(y_i(t))}_t = \int \D y \, f(y)$ ) なので, $m_k^i = \Avg{\AvgDyn{\sigma_k^i(t)}}_t$ は

(1) $m_k^i = m_k(x_i) = H \left( \frac{-u_k - \sqrt{\beta_k} x_i}{\sqrt{\alpha_k - \beta_k}} \right)$

と書ける. この表式を用いて $q_k = \PAvg{(m_k^i)^2}$ を計算すると,

(2) $q_k = \int Dx \left( m_k(x) \right)^2 = \int Dx \left\{ H \left( \frac{-u_k - \sqrt{\beta_k} x_i}{\sqrt{\alpha_k - \beta_k}} \right) \right\}^2$

となる. クエンチされたゆらぎ $\beta_k$ が $q_k$ に依存していることを思い出せば, この式は秩序変数 $q_k$ が満たすべき関係式であり, $q_k$ を陰に定義していることが分かる.

時間ゆらぎが無い場合 $\alpha_k - \beta_k = 0$ :

$\sigma_k^i(t) = \Theta \left(u_k + \sqrt{\beta_k} \, x_i \right)$ は $y_i(t)$ に依存しないので, $m_k^i = \Avg{\AvgDyn{\sigma_k^i(t)}}_t = \Theta \left(u_k + \sqrt{\beta_k} \, x_i \right)$ [2] となるから, $(m_k^i)^2 = m_k^i$ より,

$q_k = \int Dx \, \left( m_k(x) \right)^2 = \int Dx \, m_k(x) = m_k$

である. 時間ゆらぎの計算で導いた関係式より, $\alpha_k - \beta_k = \sum_{l=E,I} J_{kl}^2 (m_l - q_l) = 0$ となり, 時間ゆらぎが無いという仮定と整合性があるので, $q_k = m_k$ は式 (2) の解のひとつである. この解を, 原著 [vanVreeswijk1998] にならい凍結解 (frozen solution) と呼ぶ. 時間ゆらぎは二乗の平均なので正, つまり $\sum_{l=E,I} J_{kl}^2 (m_l - q_l)$ は正である.

また, $0 \le m_k(x_i) \le 1$ より, 各点 $x_i$ で $m_k(x_i)^2 \le m_k(x_i)$ だから, $\PAvg{m_k(x_i)^2} \le \PAvg{m_k(x_i)} = m_k$ , つまり凍結解 $q_k = m_k$ は秩序変数 $q_k$ の上限を与えることが分かる.

[2]
この場合の時間平均活動率 $m_k^i = \Theta \left(u_k + \sqrt{\beta_k} \, x_i \right)$ は, $\alpha_k - \beta_k > 0$ の場合の Q関数を用いた表式 (1) の極限 $\alpha_k - \beta_k \to 0^+$ でもある.

クエンチされたゆらぎがない場合 $\beta_k = 0$ :

式 (2) に $\beta_k = 0$ を代入すると, $m_k(x_i) = H({-u_k}/{\sqrt{\alpha_k}})$ は $x_i$ に依存しなくなり,

$q_k = \int Dx \left\{ H \left( \frac{-u_k}{\sqrt{\alpha_k}} \right) \right\}^2 = \underbrace{ \left\{ H \left( \frac{-u_k}{\sqrt{\alpha_k}} \right) \right\}^2 }_{= (m_k)^2} \underbrace{ \int Dx }_{= 1} = (m_k)^2$

となる. しかし, クエンチされたゆらぎの計算で求めた関係式 $\beta_k = \sum_{l=E,I} J_{kl}^2 q_l$ にこれをあてはめると, $m_k = 0$ または $J_{kl} = 0$ というトリビアルな状況を除けば, $\beta_k > 0$ となり, 仮定 $\beta_k = 0$ とは整合性がとれない. よって, $q_k = (m_k)^2$ は解ではない. 一方で, イェンゼンの不等式 (Jensen’s inequality) [3] を用いれば, $\PAvg{(m_k^i)^2} \ge (\PAvg{m_k^i})^2 = (m_k)^2$ , つまりクエンチされたゆらぎがない場合 $\beta_k = 0$ が秩序変数 $q_k$ の下限を与えることが分かる.

[3]	(下に)凸関数 $f(x)$ と $x$ に関する平均 $\Avg{\bullet}$ について, $f(\Avg{x}) \le \Avg{f(x)}$ が成り立つ. これを, イェンゼンの不等式 (Jensen’s inequality) という. 参考: イェンゼンの不等式 - Wikipedia / Jensen’s inequality - Wikipedia

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